Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 π.Χ., η αχανής μακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές.
Η περιοχή πού περιλάμβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεμονία του ικανού στρατηγού του Αλεξάνδρου Πτολεμαίου του Σωτήρος, ο οποίος σύντομα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής. Ο Πτολεμαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια, λίγα μόνο μίλια από τις εκβολές του ποταμού Νείλου και γύρω στα 300 π.Χ. άνοιξε τις πόρτες του περίφημου πανεπιστημίου της Αλεξάνδρειας. Ανάμεσα στους μελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυμα ήταν και ο μαθηματικός Ευκλείδης, που πιθανότατα υπήρξε μαθητής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στην Αθήνα.
Ο Ευκλείδης, από τη στιγμή που ανέλαβε τα καθήκοντα του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάμεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του μνημειώδους και ιστορικά σημαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταμένη εργασία, γραμμένη σε δεκατρία βιβλία ή μέρη, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρμογή της αξιωματικής μεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια μας. Θεωρείται ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία της οργάνωσης των μαθηματικών και η μετέπειτα επίδραση της στον επιστημονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα μπορεί να περιγραφεί.
Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναμφισβήτητα μια θέση ανάμεσα στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούμενες εργασίες ανάλογου περιεχομένου, που σήμερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγουμένων προσπαθειών και απλά γνωρίζουμε την ύπαρξη τους από σχόλια μεταγενέστερων συγγραφέων (Σημ.1) Τα Στοιχεία. του Ευκλείδη από την πρώτη εμφάνιση τους κέρδισαν τεράστια εκτίμηση. Με μοναδική εξαίρεση τη Βίβλο, καμιά άλλη εργασία δεν χρησιμοποιήθηκε, μελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωμετρίας. Από την πρώτη έκδοση της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόμενο και η μορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειμένου της και της λογικής θεμελίωσης των μαθηματικών.
Ο Πρόκλος, ένας κατοπινός σχολιαστής των μαθηματικών που έζησε στον 5ο αιώνα, έχει δώσει μια εξήγηση της έννοιας του όρου «στοιχεία». Τα στοιχεία μιας αποδεικτικής μελέτης είναι τα πιο σημαντικά θεωρήματα ή τα θεωρήματα κλειδιά που χρησιμοποιούνται συχνά και πλατιά στο αντικείμενο της μελέτης· είναι τα θεωρήματα που χρειάζονται για την απόδειξη όλων ή των περισσότερων από τα άλλα θεωρήματα. Η λειτουργία τους συγκρίνεται με αυτή των γραμμάτων του αλφαβήτου σε σχέση με τη γλώσσα· τα γράμματα στα ελληνικά ονομάζονται και στοιχεία. Η επιλογή των προτάσεων που θα λειτουργήσουν ως στοιχεία κάποιου θέματος μελέτης απαιτεί μεγάλη ικανότητα και κρίση από το συγγραφέα.
Δεν υποτιμά καθόλου την αίγλη του έργου του Ευκλείδη το γεγονός ότι είχαν προηγηθεί ανάλογες προσπάθειες. Σύμφωνα με τον Πρόκλο η πρώτη προσπάθεια να γραφτούν Στοιχεία έγινε από τον Ιπποκράτη το Χίο στα μέσα του πέμπτου π.Χ. αιώνα. Η επόμενη προσπάθεια ήταν του Λέοντα που χρονολογικά τοποθετείται κάπου ανάμεσα στον Πλάτωνα και τον Εύδοξο. Όπως μαθαίνουμε, η εργασία του Λέοντα περιείχε μια μεγαλύτερη και πιο χρήσιμη επιλογή προτάσεων από τον Ιπποκράτη. Το βιβλίο που χρησιμοποιούνταν στην Ακαδημία του Πλάτωνα είχε επιμεληθεί ο Θεύδιος από τη Μαγνησία και θεωρούνταν μια θαυμάσια συλλογή στοχείων. Η εργασία του Θεύδιου ήταν ασφαλώς ο άμεσος πρόδρομος της εργασίας του Ευκλείδη, ο οποίος την είχε χωρίς αμφιβολία στη διάθεση του, ειδικά αν, όπως πιστεύουν, σπούδασε στην Ακαδημία του Πλάτωνα.
Ο Ευκλείδης γνώριζε επίσης την εργασία του Θεαίτητου και του Εύδοξου. Δεν είναι καθόλου υποτιμητικό ότι η εργασία του Ευκλείδη αποτελεί σε μεγάλο βαθμό συγκέντρωση και επιμέλεια των εργασιών των προγενεστέρων του, αφού η ουσιαστική αξία των Στοιχείων βρίσκεται ακριβώς στην τέλεια επιδεξιότητα με την οποία επιλέχτηκαν και τοποθετήθηκαν σε λογική σειρά οι προτάσεις, ξεκινώντας από μια μικρή ομάδα αρχικών υποθέσεων. Ούτε είναι υποτιμητικό το. γεγονός ότι η εξονυχιστική μελέτη των σύγχρονων κριτικών έχουν αποκαλύψει ορισμένα μειονεκτήματα στη δομή της εργασίας του Ευκλείδη· δε θα μπορούσε κανείς να περιμένει μια τέτοια αρχική και κολοσσιαία προσπάθεια με την αξιωματική μέθοδο να μην παρουσιάζει καμία ατέλεια.
Δε σώζεται κανένα αντίγραφο των Στοιχείων από την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη. Όλες οι σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση που έκανε ο Θεωνάς από την Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε ένα παλιότερο αντίγραφο. Στα 1808, όταν ο Ναπολέοντας διέταξε να μεταφερθούν όλα τα αξιόλογα χειρόγραφα από τις ιταλικές βιβλιοθήκες στο Παρίσι, ο Φ. Πέιραρντ (F. Peyrard) ανακάλυψε στη βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του Θεωνά. Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές από τον Θεωνά.
Οι πρώτες πλήρεις μεταφράσεις των Στοιχείων στα λατινικά δεν έγιναν από τα ελληνικά αλλά από τα αραβικά. Τον 8ο αιώνα οι Άραβες μετέφρασαν έναν αριθμό βυζαντινών χειρογράφων με ελληνικές εργασίες και στα 1120 ο Άγγλος μελετητής Άντελαρντ (Adelard) από το Μπαθ μετέφρασε τα Στοιχεί στα λατινικά χρησιμοποιώντας μια απ' αυτές τις παλιότερες αραβικές μεταφράσεις. Άλλες λατινικές μεταφράσεις από τα αραβικά έκαναν ο Γκεράρντο από την Κρεμώνα (Gherardo, 1114-1187) και, 150 χρόνια μετά τον Άντελαρντ, ο Γιοχάννες Καμπάνους (Johannes Campanus). Η πρώτη τυπωμένη έκδοση των Στοιχείων έγινε στη Βενετία στα 1482 η έκδοση αυτή ήταν η μετάφραση του Καμπάνους. Αυτό το πολύ σπάνιο βιβλίο ήταν θαυμάσια τυπωμένο και ήταν το πρώτο αξιόλογο μαθηματικό βιβλίο που τυπώθηκε. Μια σημαντική λατινική μετάφραση από τα ελληνικά έγινε από τον Κομμαντίνο (Commandino) στα 1572. Αυτή η μετάφραση χρησιμοποιήθηκε ως βάση για πολλές άλλες μεταφράσεις που ακολούθησαν ανάμεσα σ' αυτές και η εργασία του Ρόμπερτ Σίμσον (Robert Simson) που άσκησε σημαντική επιρροή και αποτέλεσε με τη σειρά της τη βάση για πάρα πολλές αγγλικές εκδόσεις.
Ο διάσημος Γάλλος μαθηματικός Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ (Adrien-Marie Legendre, 1752-1833), γνωστός στην ιστορία των μαθηματικών κυρίως από τις εργασίες του πάνω στη θεωρία αριθμών, τις ελλειπτικές συναρτήσεις, τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων και τα ολοκληρώματα, ενδιαφερόταν επίσης για παιδαγωγικά ζητήματα. Στο πολύ γνωστό έργο του Elements de geometric [Στοιχεία γεωμετρίας] προσπάθησε να πετύχει μια παιδαγωγική βελτίωση των Στοιχείων του Ευκλείδη, κάνοντας μια αναδιάταξη και απλοποίηση των προτάσεων του Ευκλείδη σε μεγάλη έκταση. Η εργασία αυτή έγινε ευνοϊκά δεκτή στην Αμερική και αποτέλεσε στη χώρα αυτή το πρότυπο για τα γεωμετρικά βιβλία. Πραγματικά, η πρώτη αγγλική μετάφραση της γεωμετρίας του Λεζάντρ έγινε στα 1819 από τον Τζων Φαράρ (John Farrar) του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ. Τρία χρόνια αργότερα μια άλλη αγγλική μετάφραση έγινε από το διάσημο φιλόλογο Τομάς Καρλάιλ (Thomas Carlyle) ο οποίος σ' ένα πρώιμο στάδιο της ζωής του ήταν καθηγητής μαθηματικών. Η μετάφραση του Καρλάιλ, που αργότερα αναθεωρήθηκε από άλλους, έκανε 33 εκδόσεις στην Αμερική. Μέχρι πολύ πρόσφατα, τα περισσότερα βιβλία γεωμετρίας της μέσης εκπαίδευσης στην Αμερική ήταν διαμορφωμένα σύμφωνα με την αναθεώρηση του Λεζάντρ.
Στην έκδοση του Θεωνά, τα Στοιχεία περιλαμβάνουν δεκατρία βιβλία ή μέρη και περιέχουν συνολικά 465 προτάσεις. Αντίθετα με την εντύπωση που επικρατεί, ένα μεγάλο μέρος του υλικού αφορά όχι τη γεωμετρία αλλά τη στοιχειώδη θεωρία αριθμών και την ελληνική άλγεβρα.
Το Βιβλίο Ι αρχίζει με τους απαραίτητους αρχικούς ορισμούς και τις επεξηγήσεις, τα αιτήματα και τα αξιώματα ( Σημ. 2). Αν και σήμερα οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν τις λέξεις «αξίωμα» και «αίτημα» σαν συνώνυμα, οι αρχαίοι Έλληνες έκαναν κάποια διάκριση που υιοθέτησε και ο Ευκλείδης' σύμφωνα μ' αυτή, αξίωμα φαίνεται πως είναι μια αρχική υπόθεση που, είναι κοινή σε όλα τα πεδία μελέτης, ενώ το αίτημα είναι μια αρχική υπόθεση ειδικά για το συγκεκριμένο αντικείμενο μελέτης. Ανάμεσα στις προτάσεις του Βιβλίου Ι βρίσκονται τα γνωστά θεωρήματα για την ισότητα τριγώνων, τις παράλληλες ευθείες και τα ευθύγραμμα σχήματα. Οι προτάσεις 47 και 48, οι δύο τελευταίες προτάσεις του βιβλίου, περιέχουν το πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφο του, και μας θυμίζουν μια ιστορία που λέγεται για τον Άγγλο φιλόσοφο Τομάς Χομπς (Thomas Hobbes, 1588-1679). Μια μέρα που άνοιξε τα Στοιχεία του Ευκλείδη και έπεσε κατά τύχη πάνω στο θεώρημα του Πυθαγόρα, ο Χομπς αναφώνησε: «Μα το Θεό, αυτό είναι αδύνατο!» και προχώρησε στην ανάγνωση των αποδείξεων του Βιβλίου Ι με αντίστροφη σειρά. Όταν όμως έφτασε στα αξιώματα και τα αιτήματα, τότε πραγματικά πείστηκε.
Το Βιβλίο II, ένα μικρό βιβλίο με 14 μόνο προτάσεις, ασχολείται κυρίως με τη γεωμετρική άλγεβρα της σχολής των πυθαγορείων. Έχουμε ήδη αναφέρει στη Διάλεξη 4 ότι οι προτάσεις 12 και 13 αυτού του βιβλίου είναι ουσιαστικά η γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος, που σήμερα είναι γνωστή ως νόμος των συνημίτονων.
Το Βιβλίο III, με 39 προτάσεις, περιέχει τα γνωστά θεωρήματα σχετικά με κύκλους, χορδές, τέμνουσες, εφαπτόμενες και μετρήσεις γωνιών, θεωρήματα που βρίσκουμε στα σύγχρονα βιβλία γεωμετρίας της μέσης εκπαίδευσης. Το Βιβλίο IV, με 16 μόνο προτάσεις, ασχολείται με την κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ορισμένων κανονικών πολυγώνων, την εγγραφή τους σε δεδομένο κύκλο και την περιγραφή τους γύρω από δεδομένο κύκλο.
Το Βιβλίο V, όπως αναφέραμε στην προηγούμενη διάλεξη, παρουσιάζει με άψογο τρόπο τη θεωρία της αναλογίας του Εύδοξου. Το βιβλίο αυτό θεωρείται ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής βιβλιογραφίας. Αν θυμόμαστε την προηγούμενη διάλεξη, η ανάγνωση αυτού του βιβλίου θεράπευσε τον Μπολτζάνο από την κατάπτωση από την οποία υπέφερε ενώ βρισκόταν σε διακοπές στην Πράγα. Το Βιβλίο VI, ένα από τα πιο πλούσια βιβλία των Στοιχείων, εφαρμόζει τη θεωρία του Εύδοξου στη μελέτη όμοιων σχημάτων.
Τα Βιβλία VII, VIII και IX, που περιέχουν συνολικά 102 προτάσεις, ασχολούνται με τη στοιχειώδη θεωρία αριθμών. Το Βιβλίο VII αρχίζει με τη διαδικασία που σήμερα είναι γνωστή ως αλγόριθμος του Ευκλείδη, με την οποία βρίσκουμε το μέγιστο κοινό ακέραιο διαιρέτη δύο ή περισσότερων ακεραίων. Στο ίδιο βιβλίο υπάρχει επίσης μια παρουσίαση της αρχαίας θεωρίας των αναλογιών των πυθαγορείων. Το Βιβλίο VIII αναφέρεται κυρίως σε συνεχείς αναλογίες και στις σχετικές με αυτές γεωμετρικές προόδους. Αν έχουμε τη συνεχή αναλογία α:β = β:γ = γ:δ, τότε οι αριθμοί α, β, γ, δ αποτελούν γεωμετρική πρόοδο. Στο Βιβλίο IX υπάρχουν πολλά σημαντικά θεωρήματα της θεωρίας αριθμών. Η Πρόταση IX 14 είναι ισοδύναμη με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, που λέει ότι κάθε ακέραιος μεγαλύτερος από το 1 μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με έναν και ουσιαστικά μόνο έναν τρόπο. Στην Πρόταση IX 20 βρίσκουμε μια μοναδικά κομψή απόδειξη για το γεγονός ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Η Πρόταση IX 35 παρέχει μια γεωμετρική παραγωγή του τύπου που δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου, και η τελευταία πρόταση του βιβλίου, η IX 36, αποδεικνύει ένα σημαντικό τύπο που δίνει άρτιους τέλειους αριθμούς.
Το Βιβλίο Χ, ένα δύσκολο στην ανάγνωση βιβλίο, ασχολείται με άρρητους, δηλαδή με ευθύγραμμα τμήματα που είναι ασύμμετρα ως προς κάποιο δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα. Τα άλλα τρία βιβλία, τα XI, XII και XIII αναφέρονται στη στερεομετρία και καλύπτουν ένα μεγάλο μέρος της ύλης, με εξαίρεση τη σφαίρα, που συνήθως υπάρχει στα σύγχρονα βιβλία του σχολείου. Στην επόμενη διάλεξη θα δούμε ότι η βασική ύλη πάνω στη σφαίρα δόθηκε λίγο αργότερα από τον Αρχιμήδη.
Η ύλη που υπάρχει σήμερα στα σχολικά βιβλία γεωμετρίας του επιπέδου και του χώρου είναι σε μεγάλο βαθμό αυτή που βρίσκουμε στα βιβλία Ι, III, IV, VI, XI και XII του Ευκλείδη. Η ύλη των σύγχρονων σχολικών βιβλίων που αναφέρεται στη μέτρηση του κύκλου και της σφαίρας και η ύλη της στερεομετρίας που αναφέρεται στα σφαιρικά τρίγωνα έχουν μεταγενέστερη προέλευση και δεν περιέχονται στα Στοιχεία του Ευκλείδη.
Εκτός από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, υπάρχουν κι άλλες εργασίες της ελληνικής αρχαιότητας που έχουν φτάσει ως εμάς. Τέτοιες είναι οι θαυμάσιες εργασίες του Αρχιμήδη, τα Κωνικά του Απολλώνιου, η Μεγίστη Σύνταξη ή Αλμαγέστη [Almagest] του Πτολεμαίου, τα Μετρικά του Ήρωνα, τα Αριθμητικά [Στοιχείωσις] του Διοφάντου, τα Σφαιρικά του Μενέλαου, η Μαθηματική Συναγωγή του Πάππου και άλλες, που σε μια πιο εκτεταμένη σειρά διαλέξεων όλες ή πολλές απ' αυτές θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται στις μεγάλες στιγμές των μαθηματικών. Σ' αυτή την περιορισμένη σειρά διαλέξεων θα αναφερθούμε σε λίγες μόνο απ' αυτές τις σημαντικές εργασίες. Όσο μικρή κι αν είναι όμως μια επιλογή μεγάλων στιγμών των μαθηματικών, τα Στοιχεία του Ευκλείδη πρέπει απαραίτητα να βρίσκονται μέσα σ' αυτή.
Κλείνουμε τώρα αυτή τη διάλεξη καταγράφοντας τα αξιώματα και τα αιτήματα του Ευκλείδη, τα οποία όμως θα δούμε σε επόμενες διαλέξεις είχαν σημαντικές συνέπειες.
Τα αιτήματα
1. Από κάθε δύο σημεία μπορούμε να φέρουμε ευθεία γραμμή.
2. Ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα.
3. Με οποιοδήποτε σημείο ως κέντρο και με οποιαδήποτε ακτίνα μπορεί να γραφεί κύκλος.
4. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
5. Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνο το μέρος όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες.
Τα αξιώματα ή οι κοινές έννοιες
1. Πράγματα που είναι ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα.
2. Αν ίσα προστεθούν με ίσα, τότε το άθροισμα θα είναι ίσα.
3. Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα υπόλοιπα θα είναι ίσα.
4. Πράγματα που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο, είναι ίσα μεταξύ τους.
5. Το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους.
Παρατηρήστε ότι τα τρία πρώτα αιτήματα περιορίζουν τις κατασκευές σε εκείνες που μπορούν να γίνουν με διαβήτη και αβαθμολόγητο κανόνα. Για το λόγο αυτόν τα δύο αυτά εργαλεία λέγονται συχνά ευκλείδεια εργαλεία και οι κατασκευές που γίνονται με αυτά λέγονται ευκλείδειες κατασκευές. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε τις κατασκευές ως θεωρήματα ύπαρξης, για να αποδείξει δηλαδή την πραγματική ύπαρξη ορισμένων οντοτήτων. Έτσι μπορεί κανείς να ορίσει τη διχοτόμο μιας δεδομένης γωνίας ως μια γραμμή του επιπέδου της γωνίας η οποία περνά από την κορυφή της γωνίας και τη διαιρεί σε δύο ίσες γωνίες. Ο ορισμός όμως δεν εγγυάται την ύπαρξη αυτού που ορίζεται - αυτό απαιτεί απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι μια γωνία έχει πραγματικά διχοτόμο, πρέπει να αποδείξουμε ότι μπορούμε να την κατασκευάσουμε. Τα θεωρήματα ύπαρξης είναι πολύ σημαντικά στα μαθηματικά και η πραγματική κατασκευή μιας οντότητας είναι ο πιο ικανοποιητικός τρόπος απόδειξης της ύπαρξης της. Μπορεί κανείς να ορίσει έναν τετραγωνικό κύκλο ως ένα σχήμα που είναι ταυτόχρονα τετράγωνο και κύκλος, αλλά δεν μπορεί ποτέ να αποδείξει την ύπαρξη του η κλάση των τετραγωνικών κύκλων δεν έχει μέλη. Στα μαθηματικά είναι καλό να ξέρουμε πως το σύνολο των στοιχείων που ικανοποιούν κάποιον ορισμό δεν είναι το κενό σύνολο.
Το γεγονός ότι υπάρχουν κατασκευές που γίνονται και με εργαλεία άλλα από τα ευκλείδεια έχει προσδώσει ζωντάνια σ' αυτό το μέτωπο της γεωμετρίας. Επίσης οι άκαρπες προσπάθειες να πραγματοποιηθούν κατασκευές που σήμερα γνωρίζουμε πως δεν μπορούν να γίνουν με αυτά τα εργαλεία οδήγησε στην ανακάλυψη ενός μεγάλου και ενδιαφέροντος μέρους της γεωμετρίας.
Αργότερα θα δούμε ότι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη οδήγησε το 19ο αιώνα σε αποτελέσματα τεράστιας σημασίας για την ανάπτυξη των μαθηματικών. Ο Κ. Κέισερ (Cassius J. Keyser) έχει χαρακτηρίσει το αίτημα αυτό ως «την πιο φημισμένη μεμονωμένη πρόταση στην ιστορία της επιστήμης».
